Za Kurtija se prvi put čulo u javnosti u drugoj polovini devedesetih kada je organizovao studentske demonstracije. Istakao se kao lider otpora, ali je ubrzo uhapšen i služio je kazne u zatvorima u Lipljanu i Požarevcu. Reputaciju i nadimak kosovski Če Gevara stekao je predvođenjem uličnih protesta, borbama protiv režima koje su mu donele zatvorske kazne, ali je ostao upamćen i po bacanju suzavca u parlamentu.
Na početku sukoba na Kosovu Kurti se u avgustu 1998. pridružio nekadašnjem kolegi njegovog oca, Ademu Demaćiju, tada političkom predstavniku OVK koji je 28 godina proveo u jugoslovenskim zatvorima. Kurti je uhapšen tokom NATO bombardovanja, u pokušaju da napusti Kosovo. Posle povlačenje srpskih snaga s Kosova u junu 1999, nekoliko stotina zatvorenika, među kojima je bio i on, prebačeni su u centralnu Srbiju. U martu 2000. osuđen je u Nišu na kaznu od 15 godina zatvora zbog terorizma. Odbio je da se brani u ovom procesu, izjavivši da priznaje samo „sud svog naroda”.
Beogradski dnevni list „Naša borba“ krajem devedesetih dodelio mu je nagradu za toleranciju, ali je on nije prihvatio.
Kurtijeve pristalice su 2005. godine na zgradi Unmika napisali „Bez pregovora, samoopredeljenje!”, nakon čega je osnovan pokret tog imena,
Nakon izlaska iz zatvora završio je Elektrotehnički fakultet, deset godina posle upisa.
Zvanična biografija Albina Kurtija je manje-više dostupna javnosti. Rođen je 1975., u Prištini. Kurtijev otac Zaim, i majka Arife su se pre Kurtijevog rođenja preselili iz Ulcinja u Prištinu, zbog posla. U Prištini su mu se rodila dva mlađa brata, Arianit i Taulant. Do preseljenja u Prištinu, Kurtijevi su, kao i njihovi preci živeli u selu Vladimir, kod Ulcinja i prezivali se Kurtović.
Aljbinov otac Zaim Kurti, nekoliko godina po preseljenju u Prištinu “skratio” je prezime Kurtović u Kurti, a i dalje ima dvospratnu kuću u samom Ulcinju, u blizini Doma zdravlja. Sliku te kuće objavio je jedan crnogorski dnevnik, navodeći svedočenje meštana da Aljbina tu tek ponekad viđaju za razliku od njegovih roditelja koji iz Prištine često dolaze, naročito leti.
